Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh tia phân giác của một góc và sử dụng tính chất của tia phân giác.

Giải chi tiết:

a)               Ta có\(\widehat{ADE}={{90}^{0}}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), \(\widehat{AFE}={{90}^{0}}\) (gt)

\(\Rightarrow \widehat{ADE}+\widehat{AFE}={{180}^{0}}\)

⇒ Tứ giác ADFE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\))

b)               Tương tự ta chứng minh được tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

     \(\widehat{ACF}=\widehat{ABD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF)

Suy ra \(\widehat{ACD}=\widehat{ACF}\) hay CA là tia phân giác trong của \(\widehat{DCF}\)

\(\Rightarrow \frac{EN}{ED}=\frac{CN}{CD}\,\,\,\left( 1 \right)\) (tính chất phân giác)

Mà AC ⊥ BC (\(\widehat{ACB}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra CB là tia phân giác ngoài của \(\widehat{DCF}\)

\(\Rightarrow \frac{BN}{BD}=\frac{CN}{CD}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (tính chất phân giác)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow \frac{EN}{ED}=\frac{BN}{BD}\Rightarrow BN.ED=BD.EN\) (đpcm)