Cho phương trình:\({{x}^{2}}-mx-1=0\) (1)    (...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      

Phương trình: x² – mx – 1 = 0 có a = 1; b = -m; c = -1Ta có: \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( -m \right)}^{2}}-4.1.\left( -1 \right)={{m}^{2}}+4>0\) với mọi m.

\(\Rightarrow \)phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b)      

Cách 1:  Theo hệ thức vi-et ta có:  \(\left\{ \begin{align}  {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-m}{1}=m \\  {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1 \\ \end{align} \right.\)

 

Ta có:

          \(\begin{align} P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}} \\  =\frac{{{x}_{2}}.\left( x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1 \right)-{{x}_{1}}.\left( x_{2}^{2}+{{x}_{ 2}}-1 \right)}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\  =\frac{x_{1}^{2}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-{{x}_{2}}-{{x}_{1}}.x_{2}^{2}{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\  =\frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}.\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\  =\frac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right).\left( {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+1 \right)}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\  ={{\frac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right).\left( -1+1 \right)}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}}^{{}}}{{^{{}}}^{{}}}{{^{{}}}^{{}}}{{^{{}}}^{{}}}\left( do{{:}^{{}}}^{{}}{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \right) \\  =\frac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right).0}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\  =0 \\ \end{align}\)

Cách 2:

Do x₁ là nghiệm của (1) \(\Leftrightarrow \)\(x_{1}^{2}-m{{x}_{1}}-1=0\Leftrightarrow x_{1}^{2}=m{{x}_{1}}+1\)  (*)Do x₂ là nghiệm của (1) \(\Leftrightarrow \) \(x_{2}^{2}-m{{x}_{2}}-1=0\Leftrightarrow x_{2}^{2}=m{{x}_{2}}+1\) (**)Thế (*) và  (**) vào biểu thức \(P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}}\)

Ta được:

                         \(\begin{align}  P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}} \\  =\frac{m{{x}_{1}}+1+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{m{{x}_{2}}+1+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}} \\  =\frac{{{x}_{1}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{1}}}-\frac{{{x}_{2}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{2}}} \\  =\left( m+1 \right)-\left( m+1 \right) \\  =0 \\ \end{align}\)