Cho đường thẳng \(d:y=2mx+{{m}^{2}}+1\)và parabol...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol. Sau đó áp dụng hệ thức Vi-et vào biến đổi biểu thức và giải phương trình tìm m.

Sử dụng biểu thức \(\Delta '\)  để tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm, sử dụng định lý Vi – ét. Từ đó tính m theo \({{x}_{1}}\,\,;\,\,{{x}_{2}}\).

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\,{{x}^{2}}=2mx+{{m}^{2}}+1 \\  & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx-{{m}^{2}}-1=0\,\,\,\,(*) \\  & \Delta '={{m}^{2}}+{{m}^{2}}+1=2{{m}^{2}}+1>0\,\,\forall m \\ \end{align}\)

Do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*) ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}-1 \\ \end{align} \right.\)(1)

Ta có:

 \(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\,2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=-5{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\ & \Leftrightarrow 2{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-5{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\ & \Leftrightarrow 2{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=0\,\,\,\,(2) \\\end{align}\)

Thay (1) vào (2) ta có:

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\,2.{{(2m)}^{2}}+(-{{m}^{2}}-1)=0 \\ & \Leftrightarrow 7{{m}^{2}}=1 \\ & \Leftrightarrow m=\pm \frac{1}{\sqrt{7}} \\\end{align}\)

Chọn A.