Cho hàm số \( (P): \, y =\frac{1}{2}x^2 \). a) Lập...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng d: \(y= ax+b\) 

Đường thẳng d đi qua điểm \(\left( {2; - 6} \right) \Rightarrow 2a + b =  - 6\,\,\,\left( 1 \right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng d là:

 \({1 \over 2}{x^2} = ax + b \Leftrightarrow {x^2} - 2ax - 2b = 0\,\,\left( * \right)\)

Có:  \(\Delta ' = {a^2} + 2b.\)

Đường thẳng d tiếp xúc với (P) \( \Rightarrow \left( * \right)\,\,\) có nghiệm kép

 \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2b = 0 \Leftrightarrow b =  - {1 \over 2}{a^2}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Thế (2) vào (1) ta được:  

\( 2a - {1 \over 2}{a^2} = - 6 \Leftrightarrow {a^2} - 4a - 12 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 6} \right)\left( {a + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = 6 \hfill \cr a = - 2 \hfill \cr} \right..\)

+) Với  \(a = 6 \Rightarrow b =  - {1 \over 2}{.6^2} =  - 18 \Rightarrow d:\,\,y = 6x - 18.\)

+) Với  \(a =  - 2 \Rightarrow b =  - {1 \over 2}.{\left( { - 2} \right)^2} =  - 2 \Rightarrow d:\,\,y =  - 2x - 2.  \)

Vậy có 2 đường thẳng d thỏa mãn bài toán: \( y = 6x – 18\) và \( y = –2x – 2 \).

b) Gọi tiếp tuyến cần tìm của đồ thị hàm số có dạng d:\(y= ax+b\) 

Theo đề bài ta có d đi qua \(M\left( {2;2} \right) \Rightarrow 2a + b = 2\,\,\,\left( 1 \right).\)  

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng d là:

 \({1 \over 2}{x^2} = ax + b \Leftrightarrow {x^2} - 2ax - 2b = 0\,\,\left( * \right)\)

Có:  \( \Delta ' = {a^2} + 2b. \)

Đường thẳng d tiếp xúc với (P) \( \Rightarrow \left( * \right)\,\,\)  có nghiệm kép

 \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2b = 0 \Leftrightarrow b =  - {1 \over 2}{a^2}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Thế (2) vào (1) ta được:  \(2a - {1 \over 2}{a^2} = 2 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 2.\)

+) Với  \(a = 2 \Rightarrow b =  - {1 \over 2}{.2^2} =  - 2 \Rightarrow d:\,\,y = 2x - 2. \)

Vậy tiếp tuyến thỏa mãn bài toán có phương trình: \( y = 2x – 2.\)

Chọn A.