Cho phương trình: \({x^2} - mx - 2\left( {{m^2} +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_1}\) (\(\Delta  > 0\)).

- Ta biến đổi biểu thức về biểu thức \({x_1}^2 + {x_2}^2\) có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của m.

- Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

Xét phương trình:  \({x^2} - mx - 2\left( {{m^2} + 8} \right) = 0\) ta có:

\(\Delta  = {m^2} + 8\left( {{m^2} + 8} \right) = 9{m^2} + 64 > 0\) luôn đúng với  \(\forall m\)

Vậy phương trình luôn có hai nhiệm phân biệt với \(\forall m\)

Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 52\)  (*)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = m  \cr  {x_1}{x_2} =  - 2\left( {{m^2} + 8} \right)  \cr}  \right.\) thay vào (*) ta được:

\(\eqalign{ & {m^2} + 4\left( {{m^2} + 8} \right) = 52  \cr &  \Leftrightarrow 5{m^2} + 32 = 52  \cr &  \Leftrightarrow 5{m^2} = 20 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 2 \cr} \)

Vậy với \(m =  \pm 2\) thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.