Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính tăng giảm của từng dãy số.

Đối với dãy \(\left( {{x_n}} \right)\), ta xét thương \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}}\) và so sánh thương đó với 1.

Đối với dãy \(\left( {{y_n}} \right)\) ta xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) và so sánh hiệu đó với 0.

Giải chi tiết:

Xét thương : \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{{{\left( {n + 2} \right)!} \over {{2^{n + 1}}}}} \over {{{\left( {n + 1} \right)!} \over {{2^n}}}}} = {{\left( {n + 2} \right)!} \over {{2^{n + 1}}}}.{{{2^n}} \over {\left( {n + 1} \right)!}} = {{n + 2} \over 2} = {n \over 2} + 1 > 1\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {x_{n + 1}} > {x_n} \Rightarrow \left( {{x_n}} \right)\) là dãy tăng.

Xét hiệu

\({y_{n + 1}} - {y_n} = \left( {n + 1} \right) + {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - n - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) = {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 > 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {y_{n + 1}} > {y_n}\).

Do đó \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy tăng.

Chọn D.