Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm \(n\) bằng các công thức \({P_n} = n!;\,\,A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\) và \(C_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!.k!}}.\)Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Giải chi tiết:

Ta có \(C_{n\, - \,4}^{n\, - \,6} + n.A_n^2 = 454 \Leftrightarrow {{\left( {n - 4} \right)!} \over {\left( {n - 6} \right)!.2!}} + n.{{n!} \over {\left( {n - 2} \right)!}} = 454 \Leftrightarrow {{\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)} \over 2} + {n^2}\left( {n - 1} \right) = 454.\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 9n + 20 + 2{n^2}\left( {n - 1} \right) = 908 \Leftrightarrow 2{n^3} - {n^2} - 9n - 888 = 0\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,n = 8.\)

Với \(n = 8,\) theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {{2 \over x} - {x^3}} \right)^8} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} .{\left( {{2 \over x}} \right)^{8\, - \,k}}.{\left( { - \,{x^3}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{{{x^{3k}}} \over {{x^{8\, - \,k}}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{4k\, - \,8}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) ứng với \(4k - 8 = 4 \Leftrightarrow k = 3\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số cần tìm là \(C_8^3{.2^5}.{\left( { - \,1} \right)^3} =  - \,1792.\)

Chọn C