Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của \(AB\Rightarrow SI\bot AB\Rightarrow SI\bot \left( ABC \right)\) và \(SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Kẻ \(BK\bot SA\) với \(K\in SA\) ta có \(BK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AC \bot AB\\AC \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot BK\\\left\{ \begin{array}{l}BK \bot SA\\BK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right)\end{array}\)

Do đó

\(\widehat{\left( BC;\left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( BC;CK \right)}=\widehat{BCK}={{30}^{0}}\Rightarrow BC=\frac{BK}{\sin 30}=a\sqrt{3}\).

\(\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

Kẻ \(IH\bot BC\), kẻ \(IO\bot SH\) với \(H\in BC\), \(O\in SH\).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot IH\\BC \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow BC \bot IO\\\left\{ \begin{array}{l}IO \bot BC\\IO \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow IO \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right) = 2IO\end{array}\).

Ta có \(\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}=\frac{IH}{IB}\Rightarrow IH=\frac{a\sqrt{2}.\frac{a}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\).

Khi đó xét tam giác vuông SIH có:

\(\frac{1}{I{{O}^{2}}}=\frac{1}{S{{I}^{2}}}+\frac{1}{I{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}\Rightarrow IO=\frac{a\sqrt{66}}{22}\).

Vậy \(d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2IO=\frac{a\sqrt{66}}{11}\).

Chọn D.