Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. H là...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác HIKB có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh \(\Delta AHI\backsim \Delta AKB\)

c) Dựng IE // AB \(\left( E\in BC \right)\), chứng minh tứ giác ICKE là tứ giác nội tiếp và suy ra tâm đường tròn nội tiếp tam giác KCI luôn thuộc đường thẳng cố định.

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(\widehat{IKB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\Rightarrow \widehat{IKB}={{90}^{0}}\).

\(CD\bot AB\Rightarrow \widehat{IHB}={{90}^{0}}\).

Xét tứ giác HIKB có \(\widehat{IKB}+\widehat{IHB}={{180}^{0}}\Rightarrow HIKB\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Xét hai tam giác vuông AHI và AKB có:

\(\widehat{AHI}=\widehat{AKB}={{90}^{0}}\)

\(\widehat{KAB}\) chung.

\(\Rightarrow \Delta AHI\backsim \Delta AKB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AH}{AK}=\frac{AI}{AB}\Rightarrow AI.AK=AH.AB\)

c) Dựng IE // AB \(\left( E\in BC \right)\) ta có: \(\widehat{CEI}=\widehat{CBA}\) (so le trong).

Lại có \(\widehat{CBA}=\widehat{CKI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

\(\Rightarrow \widehat{CEI}=\widehat{CKI}\Rightarrow \) Tứ giác ICKE là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

 \(\Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác KCI chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICKE.

Ta có \(\widehat{CIE}={{90}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác ICKE nội tiếp đường tròn tâm J, với J là trung điểm của CE và \(J\in BC\) cố định.

Vậy khi K thay đổi trên cung lớn CD thuộc đường tròn tâm O thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KCI luôn thuộc BC cố định.