Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhân cả 2 vế của bất phương trình (1) với 2, rồi cộng cả 2 vế của bất phương trình (1) với \(2017\sqrt{x+1}\), sau đó ta xét hàm số \(f\left( t \right)={{2.3}^{t}}+2017t\), chứng minh hàm số đơn điệu, tìm ra tập nghiệm của (1).

Tìm m để bất phương trình (2) có nghiệm bằng cách cô lập m, đưa phương trình về dạng \(m\ge f\left( x \right)\), khi đó bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge \min \,\,f\left( x \right)\), lưu ý rằng chỉ xét hàm số f(x) trên tập nghiệm của bất phương trình (1).

Giải chi tiết:

ĐK: \(x\ge -1\)

\(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2017x\le 2017\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m+3\ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{align} & Bpt\,\,\,\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{2.3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{2.3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2.2017x\le 2.2017 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow {{2.3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{2.3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2.2017x+2017\sqrt{x+1}\le 2.2017+2017\sqrt{x+1} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow {{2.3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+2017\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le {{2.3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2017\left( 2+\sqrt{x+1} \right) \\ \end{align}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2.3}^{t}}+2017t\), có \(f'\left( t \right)={{2.3}^{t}}\ln 3+2017>0\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên R.

Mà \(f\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le f\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\Rightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x\le 1\Rightarrow -1\le x\le 1.\).

Bất phương trình \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+3\ge m\left( x-2 \right)\)

Vì \(x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow x-2<0\Rightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-2}=f\left( x \right)\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-2}\) trên đoạn [-1; 1] ta có

\(\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{min}}\,f\left( x \right)=-2=f\left( \pm 1 \right)\)

Để phương trình (*) có nghiệm trên [-1; 1] thì \(m\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{min}}\,f\left( x \right)=-2.\)

Chọn C.