Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{3x + 7}}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của bất phương trình.

+) Sử dụng các công thức \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y,\,\,\,{\log _a}b = {1 \over {{{\log }_b}a}}\) (giả sử các biểu thức có nghĩa).

+) Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \matrix{  3x + 7 > 0 \hfill \cr   3x + 7 \ne 1 \hfill \cr   2x + 3 > 0 \hfill \cr   2x + 3 \ne 1 \hfill \cr   9 + 12x + 4{x^2} > 0 \hfill \cr   6{x^2} + 23x + 21 > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  3x + 7 > 0 \hfill \cr   3x + 7 \ne 1 \hfill \cr   2x + 3 > 0 \hfill \cr   2x + 3 \ne 1 \hfill \cr   {\left( {2x + 3} \right)^2} > 0 \hfill \cr   \left( {2x + 3} \right)\left( {3x + 7} \right) > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  3x + 7 > 0 \hfill \cr   3x + 7 \ne 1 \hfill \cr   2x + 3 > 0 \hfill \cr   2x + 3 \ne 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x >  - {7 \over 3} \hfill \cr   x \ne  - 2 \hfill \cr   x >  - {3 \over 2} \hfill \cr   x \ne  - 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x >  - {3 \over 2} \hfill \cr   x \ne  - 1 \hfill \cr}  \right.\)

\(\eqalign{  & {\log _{3x + 7}}\left( {9 + 12x + 4{x^2}} \right) + {\log _{2x + 3}}\left( {6{x^2} + 23x + 21} \right) > 4  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _{3x + 7}}{\left( {2x + 3} \right)^2} + {\log _{2x + 3}}\left[ {\left( {2x + 3} \right)\left( {3x + 7} \right)} \right] > 4  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\log _{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right) + {\log _{2x + 3}}\left( {3x + 7} \right) + 1 - 4 > 0  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\log _{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right) + {1 \over {{{\log }_{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right)}} - 3 > 0 \cr} \)

Đặt \({\log _{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right) = a\), khi đó bất phương trình trở thành 

\(2a + {1 \over a} - 3 > 0 \Leftrightarrow {{2{a^2} - 3a + 1} \over a} > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a > 1 \hfill \cr
0 < a < {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Ta có \(x >  - {3 \over 2} \Rightarrow 3x + 7 > {5 \over 2} > 1\)

Khi \(a > 1 \Leftrightarrow {\log _{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right) > 1 \Leftrightarrow 2x + 3 > 3x + 7 \Leftrightarrow x <  - 4\) (không thỏa mãn điều kiện)

Khi \(0 < a < {1 \over 2} \Leftrightarrow 0 < {\log _{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right) < {1 \over 2} \Leftrightarrow 1 < 2x + 3 < \sqrt {3x + 7} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x + 3 > 1 \hfill \cr
4{x^2} + 12x + 9 < 3x + 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > - 1 \hfill \cr
4{x^2} + 9x + 2 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > - 1 \hfill \cr
- 2 < x < {{ - 1} \over 4} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < - {1 \over 4}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(x \in \left( { - 1; - {1 \over 4}} \right)\)

Chọn C.