Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\)có đáy là hình vuôn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Kẻ \(MN//AO,MH \bot SN\) và chứng minh \(MH \bot \left( {SBD} \right)\) dựa và định lý: “Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó”.

- Xác định khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) từ đó suy ra khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Giải chi tiết:

Xét \(\Delta SM{\rm{D}}\)vuông tại M (vì \(SM \bot \left( {ABC} \right)\)) ta có:

\(S{M^2} + M{{\rm{D}}^2} = S{{\rm{D}}^2} \Leftrightarrow SM = a\)

Gọi O là trung điểm BD

Kẻ \(MN\parallel AO\) mà \(AO \bot B{\rm{D}}\) ( tính chất hình vuông)

\( \Rightarrow MN \bot B{\rm{D}}\) lại có \(SM \bot B{\rm{D}}\)( vì \(SM \bot \left( {ABC} \right)\))

\( \Rightarrow \left( {SMN} \right) \bot B{\rm{D}}\)

Kẻ \(MH \bot SN\) lại có \(MH \bot B{\rm{D}}\)( Vì \(\left( {SMN} \right) \bot B{\rm{D}}\))

\( \Rightarrow MH\)là khoảng cách từ điểm M đến \(\left( {SB{\rm{D}}} \right)\)

Ta có: \(MN = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

Xét \(\Delta SMN\), ta có:\(\frac{1}{{M{N^2}}} + \frac{1}{{S{M^2}}} = \frac{1}{{M{H^2}}}\)\( \Rightarrow MH = \frac{a}{3}\)

Dễ thấy \(d\left( {A,\left( {SB{\rm{D}}} \right)} \right) = 2{\rm{d}}\left( {M,\left( {SB{\rm{D}}} \right)} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SB{\rm{D}}} \right)} \right) = \frac{{2{\rm{a}}}}{3}\)