Bất phương trình \(\left( {x + 4} \right)\sqrt {x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi và xét hàm số đặc trưng, chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu và giải bất phương trình.

Giải chi tiết:

 ĐK: \(x \ge  - 1\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 \left| x \right|\left( {2{x^2} + 3} \right) \ge 6{x^2} - 3x - 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \left( {x + 1 + 3} \right) - \sqrt {2{x^2}} \left( {2{x^2} + 3} \right) \ge 6{x^2} - 3x - 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \left( {x + 1 + 3} \right) - \sqrt {2{x^2}} \left( {2{x^2} + 3} \right) \ge 3\left( {2{x^2} - x - 1} \right)\end{array}\)

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x + 1} \ge 0\\v = \sqrt {2{x^2}} \ge 0\end{array} \right.\)

 ta có: \(u\left( {{u^2} + 3} \right) - v\left( {{v^2} + 3} \right) \ge 3\left( {{v^2} - {u^2}} \right) \Leftrightarrow {u^3} + 3{u^2} + 3u \ge {v^3} + 3{v^2} + 3v\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số đặc trưng \(f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} + 3\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 6t + 3 = 3\left( {{t^2} + 2t + 1} \right) = 3{\left( {t + 1} \right)^2} > 0\,\,\forall t \ge 0\), do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) . Mà từ (*) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,f\left( u \right) \ge f\left( v \right) \Rightarrow u \ge v \Rightarrow {u^2} \ge {v^2}\\ \Leftrightarrow x + 1 \ge 2{x^2} \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 \le 0 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le x \le 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow 2a + b = 0.\end{array}\)

Chọn A.