Kết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(y = 0\)  không thoả mãn hệ phương trình. Chia cả 2 vế của hai phương trình cho \(y \ne 0\), sau đó đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

Với \(y = 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x = 0\end{array} \right.\) (vô nghiệm)

Với \(y \ne 0\) chia cả 2 vế của hai phương trình cho \(y \ne 0\) ta được:

Hệ (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{x}{y} - \frac{1}{y} = 3\\\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{x}{{{y^2}}} = 2\end{array} \right.\quad  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - \frac{1}{y}} \right) + \frac{x}{y} = 3\\\frac{x}{y}\left( {x - \frac{1}{y}} \right) = 2\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - \frac{1}{y}\\v = \frac{x}{y}\end{array} \right.\), hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\uv = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{y} = 2\\\frac{x}{y} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - 1 = 2y\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 1 = 0\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 1 - \sqrt 2 \\x = y = 1 + \sqrt 2\end{array} \right.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{y} = 1\\\frac{x}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - 1 = y\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} - y - 1 = 0\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y =  - \frac{1}{2}\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có 4 nghiệm\((x;y)\) là \((2;1),\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right),\left( {1 + \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right),\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)

Chọn D