Kết luận nào sau đây đúng khi nói về nghiệm của hê...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi  phương trình (1), đưa về phương trình dạng \({{A}^{2}}={{B}^{2}}\)

Giải chi tiết:

Ta có:    

 \(\begin{array}{l}{x^2} + 5x + 6 = {y^2} + y \Leftrightarrow 4{x^2} + 20x + 25 = 4{y^2} + 4y + 1 \Leftrightarrow {\left( {2x + 5} \right)^2} = {\left( {2y + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = 2y + 1\\2x + 5 =  - 2y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2y =  - 4\\2x + 2y =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y =  - 2\\x + y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y - 2\\x =  - y - 3\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x=y-2\)thay vào phương trình \(\sqrt{x-2}+\sqrt{3x+2y+2}=4\)ta có \(\sqrt{y-4}+\sqrt{5y-4}=4\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện \(y\ge 4\)

Bình phương hai vế của (*) ta có

\((*)\Leftrightarrow 6y-8+2\sqrt{\left( y-4 \right)\left( 5y-4 \right)}=16\Leftrightarrow 2\sqrt{\left( y-4 \right)\left( 5y-4 \right)}=24-6y\Leftrightarrow \sqrt{\left( y-4 \right)\left( 5y-4 \right)}=12-3y\)

Từ phương trình ta có \(12-3y\ge 0\Leftrightarrow y\le 4\)

Kết hợp điều kiện \(y\ge 4\)suy ra \(y=4\). Ta thấy \(y=4\)thỏa mãn phương trình.

Vậy\)(x;y)=(2;4)\)là nghiệm của hệ phương trình.

+) Với \(x=-y-3\) thay vào phương trình \(\sqrt{x-2}+\sqrt{3x+2y+2}=4\)ta có \(\sqrt{-y-5}+\sqrt{-y-7}=4\,\,\,\left( ** \right)\)

Điều kiện \(y\le -7\)

Bình phương hai vế của (*) ta có

\(\begin{array}{l}(*) \Leftrightarrow  - 2y - 12 + 2\sqrt {\left( {y + 5} \right)\left( {y + 7} \right)}  = 16\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {y + 5} \right)\left( {y + 7} \right)}  = 28 + 2y\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {y + 5} \right)\left( {y + 7} \right)}  = 14 + y\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 14\\\left( {y + 5} \right)\left( {y + 7} \right) = {\left( {14 + y} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 14\\{y^2} + 12y + 35 = {y^2} + 28y + 196\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 14\\ - 16y = 161\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 14\\y =  - \frac{{161}}{{16}}\end{array} \right. \Leftrightarrow y =  - \frac{{161}}{{16}}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy\(\left( x;y \right)=\left( \frac{113}{16};\frac{-161}{16} \right)\)là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) là \(\left( 2;4 \right),\,\,\left( \frac{113}{16};\frac{-161}{16} \right)\)

Chọn B.