Kết luận nào sau đây đúng về nghiệm của hệ phương...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (2) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (1)

Giải chi tiết:

ĐK : \(x\ge \left| y \right|\)

Từ phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x + y}  + \sqrt {x - y}  = \sqrt {{x^2} - {y^2}}  + 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + y}  - \sqrt {{x^2} - {y^2}}  + \sqrt {x - y}  - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + y} \left( {1 - \sqrt {x - y} } \right) + \sqrt {x - y}  - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt {x - y} } \right)\left( {\sqrt {x + y}  - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x-y=1\Leftrightarrow x=y+1\) thay vào  phương trình (1) ta có

\({\left( {y + 1} \right)^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow 2{y^2} + 2y = 0 \Leftrightarrow 2y\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\,\,\)

Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là \((1;0),(0;-1)\)

+) Với \(x+y=1\Leftrightarrow x=-y+1\) thay vào  phương trình (1) ta có

\({\left( { - y + 1} \right)^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow 2{y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow 2y\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là (1; 0)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( x;y \right)\)duy nhất là \(\left( 1;0 \right)\)

Chọn B.