Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho \(d:x=y=...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lấy \(M\in d\)Tính giá trị của \(\left| \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM} \right|\)Biến về bài toán Min, Max

Giải chi tiết:

Lấy \(M\in (d)\Rightarrow M(t;t;t)\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {t;t;t - 1} \right)\\\overrightarrow {BM}  = \left( {t;t - 1;t} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM}  = \left( {2t;2t - 1;2t - 1} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} } \right| = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + 2{{\left( {2t - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {12{t^2} - 8t + 2}  = 2\sqrt 3 .\sqrt {{t^2} - \frac{2}{3}t + \frac{1}{6}} \\ = 2\sqrt 3 .\sqrt {{t^2} - \frac{2}{3}t + \frac{1}{9} + \frac{1}{{18}}}  = 2\sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {t - \frac{1}{3}} \right)}^2} + \frac{1}{{18}}}  \ge \frac{{2\sqrt 3 }}{{3\sqrt 2 }}\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi \(t=\frac{1}{3}\). Suy ra \(M\left( \frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3} \right)\) 

Chọn C