Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-Vẽ thêm đường thẳng song song để hình thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

- Áp dụng định lý Talet và tính chất bắc cầu để tìm ra tỉ lệ thức cần chứng minh

Giải chi tiết:

Kẻ đường thẳng đi qua A

song song với BC lần lượt cắt CD và BE

tại B’ và C’.

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC.

Vì AB’ // MC, áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{{AN}}{{NM}} = \frac{{AB'}}{{MC}}\) (1)

Vì AC’ // MB, áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{{AN}}{{NM}} = \frac{{AC'}}{{BM}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{AB'}}{{MC}} = \frac{{AC'}}{{BM}}\)

Ta có M là trung điểm của BC  \( \Rightarrow BM = MC \Rightarrow AB' = AC'\) (*)

Vì AB’// BC, áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AB'}}{{BC}}\) (**)

Vì AC’// BC, áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AC'}}{{BC}}\)  (***)

Từ (*), (**) và (***) ta có:

\(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AB'}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AC'}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{CE}}\) (Điều phải chứng minh)