Tam giác ABC có hai trung tuyến AM và BN vuông góc...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

ABMN là tứ giác có hai đường chéo AM bà BN vuông góc nên có diện tích bằng nửa tích hai đường chéo

Tính diện tích tam giác ABC thông qua diện tích của hình thang ABMN

Giải chi tiết:

Tứ giác ABMN có hai đường chéo AM và BN vuông góc với nhau nên có diện tích là: \({{S}_{ABMN}}=\frac{1}{2}AB.MN\)

Hai tam giác AMC và ABC có chung đường cao hạ từ A nên \(\frac{{{S}_{AMC}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{MC}{BC}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow {{S}_{AMC}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}\,(1)\)

Hai tam giác AMN và AMC có chung đường cao hạ từ M nên \(\frac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{AMC}}}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow {{S}_{AMN}}=\frac{1}{2}{{S}_{AMC}}\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \({{S}_{AMN}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}\,\)

Hai tam giác AMB và ABC có chung đường cao hạ từ A nên \(\frac{{{S}_{AMB}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{MB}{BC}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow {{S}_{AMB}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}\,\)

Ta có: \({{S}_{ABMN}}={{S}_{AMN}}+{{S}_{ABM}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}+\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\frac{3}{4}{{S}_{ABC}}\)

\(\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{4}{3}{{S}_{ABMN}}=\frac{4}{3}.\frac{1}{2}.AM.BN=\frac{2}{3}AM.BN\)

Chọn C