Tìm tập giá trị \(T\) của hàm số \(y = \sqrt {x -...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp: Tìm tập giá trị của biểu thức dạng \(y = \sqrt {x + a}  + \sqrt {b - x} \)

+ Tìm GTNN của biểu thức: \({y^2} = a + b + 2\sqrt {x + a} .\sqrt {b - x}  \geqslant a + b\)

+ Tìm GTLN của biểu thức, áp dụng bất đẳng thức Côsi: \({y^2} \leqslant a + b + \left( {x + a} \right) + \left( {b - x} \right) = 2\left( {a + b} \right)\)

+ Kết luận tập giá trị

Cách giải

Ta có \(y \geqslant 0\) và

\(\begin{array}{l}{y^2} = x - 3 + 5 - x + 2\sqrt {x - 3} .\sqrt {5 - x} = 2 + 2\sqrt {x - 3} .\sqrt {5 - x} \ge 2\\ \Rightarrow y \ge \sqrt 2 \end{array}\)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm, ta có

\(\begin{array}{l}{y^2} = 2 + 2\sqrt {x - 3} .\sqrt {5 - x} \le 2 + \left( {x - 3} \right) + \left( {5 - x} \right) = 4\\ \Rightarrow y \le 2\end{array}\)

Vậy \(T = \left[ {\sqrt 2 ;2} \right]\)

Chọn đáp án C