Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M và P lần lươt l...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đưa về cùng mặt phẳng.

- Sử dụng các tính chất về đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân.

- Vận dụng các dấu hiệu nhận biết một số tứ giác đặc biệt.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \matrix{  M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) \hfill \cr   CD\parallel \left( \alpha  \right) \hfill \cr   CD \subset \left( {ACD} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Suy ra \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN\parallel CD\) với \(N \in AC\).

Tương tự \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ\parallel CD\) với \(Q \in BD.\)

Vì MN // CD // PQ nên thiết diện MNPQ là hình thang.

Ta có DQ = CP = x, DM = a – x.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác DMQ ta có:

\(MQ = \sqrt {D{M^2} + D{Q^2} - 2DM.DQ.cos60}  = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} .\)

Tương tự ta cũng tính được \(NP = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} .\)

Suy ra MQ = NP.

Vậy thiết diện MNPQ là hình thang cân.

Chọn D.