Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định mặt phẳng (P) chứa SM và song song với AB, khi đó \(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\).

Giải chi tiết:

Gọi E là trung diermd của CD ta có MD // AB nên AB // (SMD)

\( \Rightarrow d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMD} \right)} \right)\)

Trong (ABC) kẻ \(AF//BC \Rightarrow AF \bot AB \Rightarrow AF \bot ME\,\,\left( {F \in ME} \right)\) ta có :\(\left\{ \begin{array}{l}ME \bot AF\\ME \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow ME \bot \left( {SAF} \right)\)

Trong (SAF) kẻ \(AH \bot SF\,\,\left( {H \in SF} \right) \Rightarrow AH \bot ME\))

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SME} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right) = AH\)

Dễ thấy ABEF là hình chữ nhật nên \(AF = BE = \frac{1}{2}BC = a\)

\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AF \Rightarrow \Delta SAF\) vuông tại A

\( \Rightarrow AH = \sqrt {\frac{{S{A^2}.A{F^2}}}{{S{A^2} + A{F^2}}}}  = \sqrt {\frac{{12{a^2}.{a^2}}}{{12{a^2} + {a^2}}}}  = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\)

Vậy \(d\left( {AB;SM} \right) = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\)

Chọn A.