a)      Giải phương trình: \({(x + 1)^3} = ({x^4}...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)                  Điều kiện: \(x \ge  - 3\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}{(x + 1)^3} = ({x^4} + 3{x^3})\sqrt {x + 3} \\ \Leftrightarrow {(x + 1)^3} = {x^3}(x + 3)\sqrt {x + 3} \\ \Leftrightarrow {(x + 1)^3} = {(x\sqrt {x + 3} )^3}\\ \Leftrightarrow x + 1 = x\sqrt {x + 3} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 2x + 1 = {x^3} + 3{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\{x^3} + 2{x^2} - 2x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\(x - 1)({x^2} + 3x + 1) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \;\left\{ {1;\;\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}.\)

b)                  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + xy = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\2{x^6} - 1 = xy\left( {2{x^2}{y^2} - 3} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right)\; \Leftrightarrow \;2{x^6} - 2{(xy)^3} = 1 - 3xy\\ \Leftrightarrow 2{x^6} - 2{x^3}{y^3} = 1 - 3xy\;\;\;\;\;\left( * \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^3}\left( {{x^3} - {y^3}} \right) = 1 - 3xy.\;\;\;\left( {**} \right)\\ \Rightarrow 1 - 3xy = {x^2} + xy + {y^2} - 3xy = {(x - y)^2}\\ \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow 2{x^3}({x^3} - {y^3}) = {(x - y)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^3}(x - y)({x^2} + xy + {y^2}) = {(x - y)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^3}(x - y) = {(x - y)^2}\\ \Rightarrow (x - y)(2{x^3} - x + y) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\2{x^3} - x + y = 0\end{array} \right..\end{array}\)

 Với  \(x = y\)  thay vào (1) ta được: \(3{x^2} = 1 \Leftrightarrow x = y =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

Với \(2{x^3} = x - y\) thay vào  \(\left( * \right)\) ta được :

\(\begin{array}{l}\frac{{{{(x - y)}^2}}}{2} - 2{(xy)^3} = 1 - 3xy\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{2} - 2{(xy)^3} = 1 - 3xy\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2} + xy - 3xy}}{2} - 2\left( {xy} \right) = 1 - 3xy\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - 3xy}}{2} - 2{(xy)^3} = 1 - 3xy\\ \Leftrightarrow 3xy - 1 = 4{(xy)^3}\\ \Leftrightarrow 4{(xy)^3} - 3xy + 1 = 0\\ \Leftrightarrow (xy + 1)(4{x^2}{y^2} - 4xy + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (xy + 1){(2xy - 1)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy + 1 = 0\\2xy - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy =  - 1\\xy = \frac{1}{2}\end{array} \right..\end{array}\)

Đến đây thế vào phương trình ta dễ thu được các nghiệm của bài toán là : \(\left\{ {{\rm{( - 1;1);}}\;{\rm{(1; - 1);}}\;\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}{\rm{;}}\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right){\rm{;}}\;\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}{\rm{;}}\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right\}{\rm{.}}\)