Cho tam giác ABC có \(\widehat {ABC} < {90^0}\)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+)  Áp dụng các tính chất và khái niệm hình đã được học về các góc đối đỉnh; các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song; định lý….

+) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau: cạnh – cạnh – cạnh; cạnh – góc – cạnh; góc – cạnh góc.

Giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta ABE\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,AD = AB\,\,\,\left( {gt} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\widehat {DAC} = \widehat {EAB}\,\,\left( { = {{90}^0} + \widehat {BAC}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,AC = AE\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ADC = \Delta ABE\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow DC = BE\)(hai cạnh tương ứng bằng nhau)   (đpcm).

b) Ta có: \(DF//AE \Rightarrow \widehat {ADF} + \widehat {DAE} = {180^0}\left( 1 \right)\) (hai góc trog cùng phía).

Mà \({\widehat A_1} + {\widehat A_3} + {\widehat A_5} = {180^0} \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_5} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)

\({\widehat A_2} + {\widehat A_4} + {\widehat A_6} = {180^0} \Rightarrow {\widehat A_2} + {\widehat A_4} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)

Từ hai điều trên ta suy ra \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} + {\widehat A_5} + {\widehat A_6} = {180^0} \Rightarrow \widehat {DAE} + \widehat {BAC} = {180^0}\left( 2 \right)\)

c) \(\Delta ADF = \Delta BAC\left( {cmt} \right) \Rightarrow AF = BC\) (hai cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta CAB\) có:

\(AE = AC\) (gt)

\({\widehat A_2} = \widehat {ACB}\) (cùng phụ với \({\widehat A_6}\))

\(AF = BC\) (cmt)

Do đó \(\Delta AEF = \Delta CAB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow EF = AB\)(hai cạnh tương ứng)

Vậy \(EF = AB\).

d) Ta có: \(\Delta AEF = \Delta CAB\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng)      (3)

\(\Delta ADF = \Delta BAC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {DAF} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng)                     (4)

Từ (3) và (4) ta có \(\widehat {AFE} = \widehat {DAF}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(EF//AD\).

Mà \(AD \bot AB\left( {gt} \right)\) nên \(EF \bot AB\) (từ vuông góc đến song song).

Vậy \(EF \bot AB\) (đpcm).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {ADF} = \widehat {BAC}\) (cùng bù với \(\widehat {DAE}\)).

Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta BAC\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat {ADF} = \widehat {BAC}\,\,\left( {cmt} \right)\\AD = AB\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)

\(\widehat {ABC} = \widehat {DAF}\) (cùng phụ với \({\widehat A_5}\))

Do đó  \(\Delta ADF = \Delta BAC\left( {g.c.g} \right)\).