Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trì...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cô lập m, sử dụng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{25^x} - {\log _5}m > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}m < {25^x}\\m > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}{\log _5}\left( {{{25}^x} - {{\log }_5}m} \right) = x\\ \Leftrightarrow {25^x} - {\log _5}m = {5^x}\\ \Leftrightarrow {25^x} - {5^x} = {\log _5}m\end{array}\)

có nghiệm duy nhất.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {25^x} - {5^x}\) ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {25^x}\ln 25 - {5^x}\ln 5 = {2.5^{2x}}\ln 5 - {5^x}\ln 5 = {5^x}\ln 5\left( {{{2.5}^x} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {2.5^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {5^x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{1}{2}} \right) =  - {\log _5}2\end{array}\)

BBT :

Để phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất thì đường thẳng \(y = {\log _5}m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 1 điểm \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _5}m =  - \frac{1}{4}\\{\log _5}m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = {5^{ - \frac{1}{4}}}\\m \ge {5^0} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}}\\m \ge 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Chọn B.