Giải các phương trình sau:a) \(\left( {3x - 8} \ri...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Đưa phương trình về dạng tích \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

Áp dụng phương pháp giải phương trình dạng \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\{f^2}\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\).

b) Đặt \(t = \sqrt {2x - 1}  + \sqrt {x - 1} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left( {3x - 8} \right)\left| {11 - 3x} \right| = 3{x^2} - 17x + 24 \Leftrightarrow \left( {3x - 8} \right)\left| {11 - 3x} \right| = \left( {x - 3} \right)\left( {3x - 8} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 8} \right)\left[ {\left| {11 - 3x} \right| - x + 3} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 8 = 0\\\left| {11 - 3x} \right| - x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{8}{3}\\\left| {11 - 3x} \right| = x - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{8}{3}\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\9{x^2} - 66x + 121 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{8}{3}\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\8{x^2} - 60x + 112 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{8}{3}\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{8}{3}\\x = 4\\x = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\dfrac{8}{3};4;\dfrac{7}{2}} \right\}\).

b) \(\sqrt {2x - 1}  + \sqrt {x - 1}  + 22 = 3x + 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} \)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{1}{2}\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\).

Đặt \(t = \sqrt {2x - 1}  + \sqrt {x - 1} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có: \({t^2} = 2x - 1 + x - 1 + 2\sqrt {\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}  = 3x - 2 + 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} \)

\( \Rightarrow 3x + 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1}  = {t^2} + 2\)

Khi đó phương trình trở thành \(t + 22 = {t^2} + 2 \Leftrightarrow {t^2} - t - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}t = 5 \Rightarrow 3x + 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1}  = 27 \Leftrightarrow 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1}  = 27 - 3x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}27 - 3x \ge 0\\4\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 9{x^2} - 162x + 729\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 9\\{x^2} - 150x + 725 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 9\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 145\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\,\,\left( {tm\,\,DKXD} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 5.\)