Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm mối liên hệ giữa các biến ở giả thiết, đưa về khảo sát hàm số với điều kiện của ẩn.

Giải chi tiết:

Ta có \(\frac{1}{2}{{\log }_{2}}a={{\log }_{2}}\frac{2}{b}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{a}={{\log }_{2}}\frac{2}{b}\Leftrightarrow \sqrt{a}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow a=\frac{4}{{{b}^{2}}}.\)

Đặt \(t=4{{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{b}^{3}}+\frac{256}{{{b}^{6}}}=\frac{{{b}^{3}}}{2}+\frac{{{b}^{3}}}{2}+\frac{256}{{{b}^{6}}}\ge 3\sqrt(3){\frac{{{b}^{3}}}{2}.\frac{{{b}^{3}}}{2}.\frac{256}{{{b}^{6}}}}=12\Rightarrow t\in \left( 12;+\,\infty  \right).\)

Khi đó \(P=f\left( t \right)=t-4{{\log }_{2}}t,\) có \({f}'\left( t \right)=1-\frac{4}{t.\ln 2}>0;\,\,\forall t\ge 2.\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( 12;+\,\infty  \right)\)\(\Rightarrow f\left( t \right)\ge f\left( 12 \right).\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \({{P}_{\min }}=12-4{{\log }_{2}}12=12-4.{{\log }_{2}}\left( {{3.2}^{2}} \right)=4\left( 1-{{\log }_{2}}3 \right).\)

Chọn C