Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} =...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nếu \(({u_n})\)là một cấp số nhân với công bội \(q \ne 1\) thì \({S_n}\) được tính theo công thức: \({S_n} = \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\).

Giải chi tiết:

\(\left( {{u_n}} \right)\):   \({u_1} = \frac{1}{5},\,\,\)\({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{5n}}{u_n},\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{1}{5}.\frac{{{u_n}}}{n}\,,\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)

Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right):\) \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n}\) . Theo giả thiết, ta có:  \({v_1} = \frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{5}\) và \({v_{n + 1}} = \frac{1}{5}{v_n},\,\,n \ge 1\)

\( \Rightarrow ({v_n})\) là dãy cấp số nhân với số hạng đầu tiên : \({v_1} = \frac{1}{5}\) và công sai \(q = \frac{1}{5}\)

Khi đó, tổng:  \(S = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{u_k}}}{k}}  = \sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}}  = \frac{{{v_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{5}.\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{5}}} = \frac{{{5^n} - 1}}{{{{4.5}^n}}}\)

Theo đề bài: \(S = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{u_k}}}{k}}  < \frac{{{5^{2018}} - 1}}{{{{4.5}^{2018}}}} \Leftrightarrow \frac{{{5^n} - 1}}{{{{4.5}^n}}} < \frac{{{5^{2018}} - 1}}{{{{4.5}^{2018}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{1}{{{{4.5}^n}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{{{{4.5}^{2018}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{5^n}}} > \frac{1}{{{5^{2018}}}} \Leftrightarrow n < 2018\).

Chọn: C