Cho các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| z-5+3i \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa về khoảng cách giữa hai điểm thuộc các đường tròn biểu diễn các số phức  và biện luận vị trí điểm để biểu thức đạt giá trị lớn nhất

Giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3iz\\v =  - \,2w\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{u}{{3i}}\\w =  - \frac{v}{2}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 5 + 3i} \right| = 3\\\left| {iw + 4 + 2i} \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\frac{u}{{3i}} - 5 + 3i} \right| = 3\\\left| { - \frac{{iv}}{2} + 4 + 2i} \right| = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\frac{{u - 9 - 15i}}{{3i}}} \right| = 3\\\left| {\frac{{iv - 8 - 4i}}{2}} \right| = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {u - 9 - 15i} \right| = 9\\\left| {iv - 8 - 4i} \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {u - 9 - 15i} \right| = 9\\\left| {v - 4 + 8i} \right| = 4\end{array} \right.\). 

Do đó, tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(u\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x-9 \right)}^{2}}+{{\left( y-15 \right)}^{2}}=81.\)

Tập hợp điểm \(N\) biểu diễn số phức \(v\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+8 \right)}^{2}}=16.\)

Xét \(\left( {{C}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}\left( 9;15 \right),\) bán kính \({R_1} = 9;\) \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {4; - \,8} \right),\) bán kính \({{R}_{2}}=4.\)

Dễ thấy \(\left( {{C}_{1}} \right),\,\,\left( {{C}_{2}} \right)\) không cắt nhau \(\Rightarrow \,\,\left| u-v \right|=MN\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \,\,MN = {I_1}{I_2} + {R_1} + {R_2} = \sqrt {554}  + 13.\)

Vậy \(T=\left| 3iz+2w \right|\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt{554}+13.\)

Chọn D