Biết tích phân \(I = \int\limits_1^e {\left| {\dfr...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.

Giải chi tiết:

Vì \(x \in \left[ {1;e} \right] \Rightarrow \ln x \ge 0 \Rightarrow \left| {\dfrac{{\ln x}}{{2\sqrt x }}} \right| = \dfrac{{\ln x}}{{2\sqrt x }},\) do đó \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{2\sqrt x }}{\rm{d}}x} .\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\{\rm{d}}v = \frac{{{\rm{d}}x}}{{2\sqrt x }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{{{\rm{d}}x}}{x}\\v = \sqrt x \end{array} \right..\)

 Khi đó \(I = \left. {\sqrt x .\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt x }}{x}{\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\sqrt x .\ln x - 2\sqrt x } \right)} \right|_1^e.\)

\( = 2 - \sqrt e = a - {e^b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow S = a + 2b = 2 + 2.\frac{1}{2} = 3.\)

Chọn B