Tìm hàm số F(x) của \(f\left( x \right) = {{{2^x}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tách nguyên hàm ban đầu thành \(F\left( x \right) = \int {{{{2^x} - 1} \over {{e^x}}}dx}  = \int {\left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx}  = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx}  - \int {{e^{ - x}}dx} .\)

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm thứ nhất, bằng cách đặt \(\left\{ \matrix{  u = {2^x} \hfill \cr   dv = {e^{ - x}}dx \hfill \cr}  \right.\), lưu ý đây là nguyên hàm quay đầu. 

Giải chi tiết:

\(F\left( x \right) = \int {{{{2^x} - 1} \over {{e^x}}}dx}  = \int {\left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx}  = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx}  - \int {{e^{ - x}}dx}  = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx}  + {e^{ - x}} + {C_1} = I + {e^{ - x}} + {C_1}.\)

Đặt

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  u = {2^x} \hfill \cr   dv = {e^{ - x}}dx \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = {2^x}\ln 2dx \hfill \cr   v =  - {e^{ - x}} \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Rightarrow I =  - {2^x}{e^{ - x}} + \ln 2\int {{2^x}{e^{ - x}}dx}  + {C_2} =  - {2^x}{e^{ - x}} + \ln 2.I + {C_2} \Leftrightarrow \left( {\ln 2 - 1} \right)I + {C_2} = {2^x}{e^{ - x}} \Rightarrow I = {{{2^x}{e^{ - x}}} \over {\ln 2 - 1}} + {C_2}.  \cr   &  \Rightarrow F\left( x \right) = {{{2^x}{e^{ - x}}} \over {\ln 2 - 1}} + {e^{ - x}} + C = {{{2^x}} \over {\left( {\ln 2 - 1} \right){e^x}}} + {1 \over {{e^x}}} + C  \cr   &  \Rightarrow F\left( 0 \right) = {1 \over {\ln 2 - 1}} + 1 + C = 1 \Rightarrow C =  - {1 \over {\ln 2 - 1}}  \cr   &  \Rightarrow F\left( x \right) = {{{2^x}} \over {\left( {\ln 2 - 1} \right){e^x}}} + {1 \over {{e^x}}} - {1 \over {\ln 2 - 1}} = {1 \over {\ln 2 - 1}}{\left( {{2 \over e}} \right)^x} + {\left( {{1 \over e}} \right)^x} - {1 \over {\ln 2 - 1}}. \cr} \)

Chọn B.