Phương trình \({\sin ^3}\left( {x - {\pi  \over 4}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi, đưa phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bậc ba.

- TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

- TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{3}}x\).

Giải chi tiết:

\(\eqalign{ & {\sin ^3}\left( {x - {\pi \over 4}} \right) = \sqrt 2 \sin x \cr & \Leftrightarrow {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}\sin x - {{\sqrt 2 } \over 2}\cos x} \right)^3} = \sqrt 2 \sin x \cr & \Leftrightarrow {{\sqrt 2 } \over 4}\left( {{{\sin }^3}x - 3{{\sin }^2}x\cos x + 3\sin x{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x} \right) = \sqrt 2 \sin x \cr & \Leftrightarrow {\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x\cos x + 3\sin x{\cos ^2}x - {\cos ^3}x = 4\sin x \cr} \)

Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó  \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \sin x =  \pm 1\)

Thay \(\sin x = 1\) vào phương trình ta có: \(1=4\) (Vô lý)

Thay \(\sin x = -1\) vào phương trình ta có:  \(-1=-4\)(Vô lý)

\(\Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\) ta được:

\(\eqalign{ & {{{{\sin }^3}x} \over {{{\cos }^3}x}} - 3{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + 3{{\sin x} \over {\cos x}} - 1 = 4{{\sin x} \over {\cos x}}.{1 \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow {\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + 3\tan x - 1 = 4\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + \tan x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x\left( {\tan x + 1} \right) + \left( {\tan x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {\tan x + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \tan x = - 1 \cr & \Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Chọn B.