Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow HD\) là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;HD} \right)} = \widehat {SDH} = {60^0} \Rightarrow \widehat {HSD} = {30^0}\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(BD = a \Rightarrow HD = \dfrac{1}{4}BD = \dfrac{a}{4};\,\,BH = \dfrac{3}{4}BD = \dfrac{{3a}}{4}\)\( \Rightarrow SH = HD. \tan 60 = \dfrac{a}{4}\sqrt 3  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Xét tam giác vuông SHB có: \(\tan \widehat {HSB} = \dfrac{{BH}}{{SH}} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{4}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {HSB} = {60^0}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BSD} = {90^0} \Rightarrow \Delta SBD\) vuông tại S.

SO là đường trung tuyến ứng với cạnh BD \( \Rightarrow {\rm{OS = OB = OD}}\) (Định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Mà \(OA = OB = OC = OD \Rightarrow OS = OA = OB = OC = OD\)\( \Rightarrow O\) là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp S. ABCD\( \Rightarrow R = OB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{2}\)

Chọn C.