Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao.

+) Chứng minh tam giác đồng dạng và suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ.

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết:

Trong (ABCD)  kẻ \(BK \bot DM\) tại K

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BK \bot DM\\BK \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow BK \bot \left( {SDM} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SDM} \right)} \right) = BK\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ADM = \Delta DCN\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {DCN}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat {DCN} + \widehat {CND} = {90^0}\) (2 góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông CDN)

Suy ra \(\widehat {NED} = {90^0}\)

Suy ra \(\Delta BKM \sim \Delta CED\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{BK}}{{CE}} = \dfrac{{BM}}{{CD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow BK = \dfrac{1}{2}CE\)

Xét tam giác vuông CDN có: \(CN = \sqrt {C{D^2} + D{N^2}}  = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Ta có: \(CE.CN = C{D^2} \Rightarrow CE = \dfrac{{C{D^2}}}{{CN}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\) 

Suy ra \(BK = \dfrac{1}{2}CE = \dfrac{1}{2}\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\)

Chọn C.