Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Xét mặt phẳng (P) th...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: Gọi bán kính (C ) với tâm là I là r \(\left( {0 < r \le R} \right)\) thì dễ có S phải thuộc OI và :

Xét tam giác vuông OAI có:

\(\begin{array}{l}OI = \sqrt {O{A^2} - I{A^2}}  = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  \Rightarrow h = SI = SO + OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  + R\\V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + R)\end{array}\)

Xét hàm số:

\(\begin{array}{l}f(r) = {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + R)\\ \Rightarrow f'(r) = 2{\rm{r}}\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + 2{\rm{rR}} - \dfrac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + 2{\rm{R}} - \dfrac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0\\ \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}}  = 0\\ \Leftrightarrow 3{r^2} - 2{R^2} = 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \\ \Leftrightarrow {(3{r^2} - 2{R^2})^2} = {\left( {2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {3{r^2} \ge 2{R^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 9{r^4} - 12{R^2}{r^2} + 4{R^4} = 4{R^4} - 4{R^2}{r^2}\\ \Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{8}{9}{R^2} \Rightarrow r = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Ta có: \(f\left( {\dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}} \right) = \dfrac{{32{R^3}}}{{27}}\,\,\,\,f\left( R \right) = {R^3}\)

\( \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left( {0;R} \right]} f\left( r \right) = \dfrac{{32{R^3}}}{{27}} \Leftrightarrow r = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3} \Rightarrow h = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  + R = \sqrt {{R^2} - \dfrac{8}{9}{R^2}}  + R = \dfrac{{4R}}{3}\)

Chọn C.