Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết AB =...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD; O là trung điểm của IJ.

Ta chứng minh O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Giải chi tiết:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD; O là trung điểm của IJ.

Ta chứng minh O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:

Theo đề bài, ta có: AB = CD = \(\sqrt 5 \), BC = AD = \(\sqrt {10} \), AC = BD = \(\sqrt {13} \)

\( \Rightarrow \Delta BCD = \Delta ADC,\,\,\Delta ABD = \Delta BAC\)

\( \Rightarrow BJ = AJ,\,\,ID = IC\)

\( \Rightarrow \Delta JAB,\,\,\Delta ICD\) lần lượt là tam giác cân tại J, I

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IJ \bot AB\\IJ \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \)IJ là trung trực của các đoạn thẳng AB và CD

Mà O là trung điểm của IJ \( \Rightarrow OA = OB = OC = OD \Rightarrow \)O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:

Xét tam giác ACD: \(J{A^2} = \dfrac{{2\left( {A{C^2} + A{D^2}} \right) - C{D^2}}}{4} = \dfrac{{2\left( {13 + 10} \right) - 5}}{4} = \dfrac{{41}}{4} \Rightarrow JA = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\)

Tam giác IJA vuông tại I \( \Rightarrow IJ = \sqrt {A{J^2} - I{A^2}}  = \sqrt {\dfrac{{41}}{4} - \dfrac{5}{4}}  = 3 \Rightarrow IO = \dfrac{3}{2}\)

Tam giác IAO vuông tại I \( \Rightarrow OA = \sqrt {I{A^2} + I{O^2}}  = \sqrt {\dfrac{5}{4} + \dfrac{9}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\) .

Chọn: A