Tổng bình phương các giá trị của tham số m

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Tìm điều kiện của $m$ để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Vi-ét và điều kiện bài cho để tìm $m.$

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:

$- x - m = \frac{{x - 2}}{{x - 1}} \Leftrightarrow  - \left( {x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = x - 2 \Leftrightarrow {x^2} + mx - m - 2 = 0$ (*)

Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại 2 điểm phân biệt ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

$\Leftrightarrow \Delta  = {m^2} + 4\left( {m + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + 4 > 0$ (luôn đúng ∀m)

Và $f\left( 1 \right) \ne 0 \Leftrightarrow 1 + m - m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow  - 1 \ne 0\;\;\forall m.$

Giả sử tọa độ 2 giao điểm là $A\left( {{x_1}; - {x_1} - m} \right),B\left( {{x_2}; - {x_2} - m} \right)$ với ${x_1};\,\,{x_2}$ là 2 nghiệm của pt (*).

Theo định lý Viet ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - m\\{x_1}{x_2} =  - m - 2\end{array} \right.$. Do đó

$\begin{array}{l}AB = \sqrt {10}  \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( { - {x_1} - m + {x_2} + m} \right)}^2}}  = \sqrt {10}  \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 5 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 4\left( { - m - 2} \right) = 5 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 3\end{array} \right.\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy tổng bình phương các giá trị của m là $1^2+3^2=10.$

Chọn A