Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên t...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số g(x) và tìm các điểm cực trị, các khoảng đơn điệu của hàm số.

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \(\left[ {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \right]' = f'\left( u \right).u'\left( x \right)\)

Giải chi tiết:

\(g'\left( x \right) =  - 2x.f'\left( {2 - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {2 - {x^2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2 - {x^2} =  - 1\\2 - {x^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Do đó đáp án A sai.

Với \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\) ta có \(2 - {x^2} \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \Rightarrow f'\left( {2 - {x^2}} \right) < 0\), tuy nhiên \(g'\left( x \right) =  - 2x.f'\left( {2 - {x^2}} \right)\), chưa kết luận được dấu của g’(x) trên \(\left( { - \infty ;2} \right) \Rightarrow B\) sai.

Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow 2 - {x^2} \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \Rightarrow f'\left( {2 - {x^2}} \right) < 0\), tuy nhiên \(g'\left( x \right) =  - 2x.f'\left( {2 - {x^2}} \right)\), chưa kết luận được dấu của g’(x) trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow C\) sai.

Với \(x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow 2 - {x^2} \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow f'\left( {2 - {x^2}} \right) < 0\)

\(x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow x < 0 \Rightarrow g'\left( x \right) =  - 2xf'\left( {2 - {x^2}} \right) < 0 \Rightarrow \) Hàm số\(g(x)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;0} \right) \Rightarrow D\) đúng.

Chọn đáp án D.