Tính khoảng cách d ngắn nhất giữa hai điểm thuộc h...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số, lưu ý điều kiện nằm ở hai nhánh khác nhau.

+) Tính AB, sử dụng BĐT Cauchy để tìm GTNN của AB.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Ta có \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\)

Đồ thị hàm số có TCĐ \(x =  - 1\), gồm hai nhánh nằm về hai phía đường thẳng \(x =  - 1\)

Gọi A là điểm thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số \( \Rightarrow {x_A} <  - 1 \Rightarrow  - 1 - {x_A} > 0\).

Đặt \(a =  - 1 - {x_A} > 0 \Rightarrow {x_A} =  - 1 - a \Rightarrow A\left( { - 1 - a;2 + \frac{3}{a}} \right)\)

Gọi B là điểm thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số \( \Rightarrow {x_B} >  - 1 \Rightarrow {x_B} + 1 > 0\)

Đặt \(b = 1 + {x_B} > 0 \Rightarrow {x_B} =  - 1 + b \Rightarrow B\left( { - 1 + b;2 - \frac{3}{b}} \right)\)

\( \Rightarrow A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{b} + \frac{3}{a}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + \frac{{9{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = {\left( {a + b} \right)^2}\left( {1 + \frac{9}{{{a^2}{b^2}}}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right)\left( {1 + \frac{9}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(A{B^2} \ge \left( {2ab + 2ab} \right).2\sqrt {\frac{9}{{{a^2}{b^2}}}}  = 4ab.2.\frac{3}{{ab}} = 24 \Rightarrow AB \ge 2\sqrt 6 \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b > 0\\1 = \frac{3}{{ab}}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 3 \)     

Vậy \(A{B_{\min }} = 2\sqrt 6 \).

Chọn D.