Cho phương trình \(\log _2^2x + \sqrt {\log _2^2x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = \log _2^2x\), xác định khoảng giá trị \(\left[ {a;b} \right]\) của t theo x.

+) Cô lập m, đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

+) Phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \log _2^2x = f\left( x \right),\,\,x \in \left[ {1;{2^{\sqrt 2 }}} \right]\), \(f'\left( x \right) = 2{\log _2}x.\dfrac{1}{{x.\ln 2}} > 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;{2^{\sqrt 2 }}} \right]\)\( \Rightarrow f\left( 1 \right) \le t \le f\left( {{2^{\sqrt 2 }}} \right) \Leftrightarrow 0 \le t \le 2\)

Phương trình \(\log _2^2x + \sqrt {\log _2^2x + 2}  - m - 1 = 0\) (1) trở thành:

\(t + \sqrt {t + 2}  - m - 1 = 0,\,\,t \in \left[ {0;2} \right]\)\( \Leftrightarrow m = t + \sqrt {t + 2}  - 1\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = t + \sqrt {t + 2}  - 1,\,\,t \in \left[ {0;2} \right]\) ta có:

\(g'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{2\sqrt {t + 2} }} > 0,\forall t \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow \,\)Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)

\( \Rightarrow g\left( 0 \right) \le g\left( t \right) \le g\left( 2 \right)\,\, \Leftrightarrow \sqrt 2  - 1 \le g\left( t \right) \le 3\)

\( \Rightarrow \) Để phương trình đã cho có nghiệm thì \( - 1 + \sqrt 2  \le m \le 3\)

Chọn: D