Xác định tất cả các giá trị của \(a\) để phương tr...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

+) Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

+) Phương trình \( \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc hai.

Phương trình \(\left( 1 \right)\)  có \(4\)  nghiệm \(x\)  phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có \(2\)  nghiệm \({t_1},\,\,{t_2} > 0\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right..\)

Giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = a{x^4} - \left( {a - 3} \right){x^2} + 3a = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow a{t^2} - \left( {a - 3} \right)t + 3a = 0\,\,\,{\rm{  }}\left( 1 \right)\)

Bài toán tương đương tìm \(a\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\\{t_1}{t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\{\left( {a - 3} \right)^2} - 12{a^2} > 0\\\frac{{a - 3}}{a} > 0\\\frac{{3a}}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\ - 11{a^2} - 6a + 9 > 0\\\left[ \begin{array}{l}a > 3\\a < 0\end{array} \right.\\3 > 0\,\,\forall a \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\frac{{ - 3 - 6\sqrt 3 }}{{11}} < a < \frac{{ - 3 + 6\sqrt 3 }}{{11}}\\\left[ \begin{array}{l}a > 3\\a < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{{3 + 6\sqrt 3 }}{{11}} < a < 0.\end{array}\) 

Chọn A.