\(\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} - 2\sqrt 3 \cot x - 6...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ

- Sử dụng công thức \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\), biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với\(\cot \,x\).

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} - 2\sqrt 3 \cot x - 6 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) - 2\sqrt 3 \cot x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 3{\cot ^2}x - 2\sqrt 3 \cot x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = \sqrt 3 \\\cot x =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\)  (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,\,x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).