Cho \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \(3C_n^0 + 4C_n^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét công thức tổng quát \((k + 3)C_n^k = kC_n^k + 3C_n^k\)

Ta tách thành 2 tổng \({S_1} = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \) và \({S_2} = 3\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;3C_n^0 + 4C_n^1 + 5C_n^2 + ... + (n + 3)C_n^n = 3840\\ \Leftrightarrow \left( {0 + 3} \right)C_n^0 + \left( {1 + 3} \right)C_n^1 + \left( {2 + 3} \right)C_n^2 + ... + \left( {n + 3} \right)C_n^n = 3840\\ \Leftrightarrow \left( {C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n} \right) + 3\left( {C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n} \right) = 3840\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = C_n^0 + C_n^1 + .... + C_n^n = {\left( {1 + 1} \right)^n} = {2^n}.\\{S_2} = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n\end{array} \right.\)

Ta có: công thức tổng quát :

\(\begin{array}{l}kC_n^k = k.\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}}\\ = n\frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!{\rm{[}}(n - 1) - (k - 1){\rm{]}}!}} = nC_{n - 1}^{k - 1};\forall k \ge 1\end{array}\)

Với \(k = 1,2,...n\) ta được:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_2} = \sum\limits_{k = 1}^n {nC_{n - 1}^{k - 1}}  = n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right) = n{.2^{n - 1}}\\ \Rightarrow VT = 3{S_1} + {S_2} = 3840\\ \Leftrightarrow {3.2^n} + n{.2^{n - 1}} = 3840\\ \Leftrightarrow {6.2^n} + n{.2^n} = 7680\\ \Leftrightarrow {2^n}\left( {n + 6} \right) = 7680\\ \Leftrightarrow n = 9.\end{array}\)

Cho \(x = 1 \Rightarrow {(1 + x - {x^2} + {x^3})^9} = {\left( {1 + 1 - {1^2} + {1^3}} \right)^9} = {2^9}\)

Chọn D