Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình bằng cách phân tích nhân tử đưa về dạng \(\cos x = m.\)

Kết hợp điều kiện của x để tìm khoảng của  m.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\cos ^3}2x - {\cos ^2}2x = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x.\left( { - 2{{\sin }^2}x} \right) = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {2{{\cos }^2}2x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = 0\\2{\cos ^2}2x + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\cos 4x + 1 + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\cos 4x =  - m - 1\;\;\;\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có \(x = k\pi \) không có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow \) phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\frac{\pi }{6}} \right).\)

Có \(x \in \left( {0;{\mkern 1mu} \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow 4x \in \left( {0;{\mkern 1mu} \frac{{2\pi }}{3}} \right) \Rightarrow  - \frac{1}{2} < \cos 4x < 1\)

Để phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\mkern 1mu} \frac{\pi }{6}} \right)\) thì \( - \frac{1}{2} <  - m - 1 < 1 \Leftrightarrow  - 2 < m <  - \frac{1}{2}.\)

Do \(m \in Z\) nên \(m =  - 1\).

Chọn D