Phương trình \(\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}} + \frac{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tanx, cotx theo sinx, cosx

+) Dùng công thức nhân đôi và cộng cung để thu gọn phương trình.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin x}} = \tan x - \cot x\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x\sin x + \cos 2x\cos x}}{{\sin x\cos x}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - x} \right) = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \cos x =  - \cos 2x \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\pi  - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \pi  - x + k2\pi \\2x =  - \left( {\pi  - x} \right) + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \pi  + m2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Các nghiệm đều thõa mãn điều kiện.

Phương trình có nghiệm \( \in \left[ { - 2018;\;2018} \right]\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2018 \le \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} \le 2018\\ - 2018 \le  - \pi  + m2\pi  \le 2018\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 964,024 \le k \le 963,024\\ - 320,67 \le m \le 321,67\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccccc}k &  \in \left\{ { - 964; - 963;....;0;1;...;963} \right\}\\m \in \left\{ { - 320;...;0;...321} \right\}\end{array} \right.\)

Vậy có tất cả: \(\left( {963 + 964 + 1} \right) + \left( {321 + 320 + 1} \right) = 2570\)  nghiệm thõa mãn.

Chọn A.