Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\lef...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ  \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\), biến đổi để tính \({u_n}\).

Số hạng tổng quát của CSC có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d:\;\;{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d.\)

Tổng \(n\) số hạng đầu của một cấp số cộng là \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\,\)  hay  \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\,\)

Giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} = {u_{n - 1}} + \left( {n - 1} \right) = {u_{n - 2}} + \left( {n - 2} \right) + \left( {n - 1} \right) = {u_{n - 3}} + \left( {n - 3} \right) + \left( {n - 2} \right) + \left( {n - 1} \right)\\ = ... = {u_1} + 1 + 2 + ... + \left( {n - 1} \right)\end{array}\)

Ta thấy 1; 2; 3… lập thành cấp số cộng với \({u_1} = 1;\;d = 1\)

\( \Rightarrow 1 + 2 + ... + \left( {n - 1} \right) = {S_{n - 1}} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {1 + n - 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\) 

\( \Rightarrow {u_n} = {u_1} + 1 + 2 + ... + \left( {n - 1} \right) = 5 + \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\)

Chọn B.