Cho hàm số \(y = \sqrt {5 - {x^2}} \) có đồ thị \(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

M thuộc \(\left( C \right)\) gọi tọa độ điểm M, tìm giá trị nhỏ nhất của AM  từ đó suy ra điểm M.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)

Điểm M thuộc \(\left( C \right)\) nên \(M\left( {a;\sqrt {5 - {a^2}} } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{M^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {\sqrt {5 - {a^2}}  - 4} \right)^2} = {a^2} - 4a + 4 + 5 - {a^2} - 8\sqrt {5 - {a^2}}  + 16\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 25 - 4\left( {a + 2\sqrt {5 - {a^2}} } \right).\end{array}\)

Chứng minh: \(a + 2\sqrt {5 - {a^2}}  \le 5\;\;\left( * \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\sqrt {5 - {a^2}}  \le 5 - a \Leftrightarrow 4\left( {5 - {a^2}} \right) \le 25 - 10a + {a^2}\\ \Leftrightarrow 20 - 4{a^2} \le 25 - 10a + {a^2}\\ \Leftrightarrow 5{a^2} - 10a + 5 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall a \in \left[ { - \sqrt 5 ;\;\sqrt 5 } \right].\\ \Rightarrow AM \ge \sqrt 5 .\end{array}\) 

Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow M\left( {1;2} \right)\) 

Chọn D.