Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) có \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) \(\overrightarrow a \) vuông góc với \(\overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

+) Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Giải chi tiết:

 +) Vì \(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right)\) vuông góc với \(\left( {5\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b } \right)\) nên:

\(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {5\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b } \right) = 0 \Leftrightarrow 5{\overrightarrow a ^2} - 8{\overrightarrow b ^2} + 6\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \frac{{ - 5{{\overrightarrow a }^2} + 8{{\overrightarrow b }^2}}}{6}\)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \frac{{3{{\overrightarrow a }^2}}}{6}\)

Vậy \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\frac{{3{{\overrightarrow a }^2}}}{6}}}{{{{\overrightarrow a }^2}}} = \frac{1}{2}.\)

Chọn  D.