Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B.\) Gọi \(M\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định \(\left| {2\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {AC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi nào, sau đó vận dụng các giả thiết để tìm được tỉ số \(\frac{{AC}}{{AI}}.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC.\)

Có \(\left| {2\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA} } \right| = \left| {\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right| = 2IN\)

Do đó, \(\left| {2\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {AC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow I\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(MC.\)

Dựng hình vuông \(ABCD.\)

Gọi \(P\) là trung điểm của \(CD\) và \(H\) là giao điểm của \(AP\) và \(DN.\)

Ta chứng minh được \(DN \bot CM \Rightarrow I \in DN.\)

Lại có tứ giác \(AMCP\) là hình bình hành, suy ra \(AP//CM.\)

Do đó\(AP \bot DI\) và \(H\) là trung điểm của \(DI \Rightarrow \Delta AID\) cân tại \(A.\)

Vậy  \(\frac{{AC}}{{AI}} = \frac{{AC}}{{AD}} = \sqrt 2 .\) 

Chọn  D