Cho m và n là các số nguyên. Biết hàm số

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Ta có $y\text{'}=6x^2+6\left(1-m\right)x+6\left(m-2\right)$.

Hàm số có điểm cực trị $x_0=2\Rightarrow 6.2^2+6.\left(1-m\right).2+6.\left(m-2\right)=0\iff m=4$.

Với $m=4$ hàm số có thêm một điểm cực trị $x_1=\frac{m-2}{2}=1$.

Hàm số đã cho trở thành $y=2x^3-9x^2+12x+n$.

Hàm số này có hai cực trị là $y_0=y\left(2\right)=n+4$ và $y_1=y\left(1\right)=n+5$.

Hàm số có hai cực trị đều dương $\iff \left\{\begin{array}{l}n+4>0\\ n+5>0\end{array}\iff n>-4\right.$

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của n là ‒3. Do đó giá trị nhỏ nhất của $m+n$ (với $m,n$ nguyên) là $4+\left(-3\right)=1$. Chọn đáp án D.